Konsequente Preisgestaltung von FX-Optionen.1 Konsequente Preisgestaltung von FX-Optionen Antonio Castagna Fabio Mercurio Banca IMI, Mailand In den aktuellen Märkten werden Optionen mit unterschiedlichen Streiks oder Fälligkeiten in der Regel mit verschiedenen impliziten Volatilitäten bewertet. Diese stilisierte Tatsache, die gemeinhin als Smileffekt bezeichnet wird Kann durch die Verwendung spezifischer Modelle, entweder für die Preisbildung exotischer Derivate oder für die Ableitung von impliziten Volatilitäten für nicht zitierte Streiks oder Fälligkeiten, berücksichtigt werden. Die frühere Aufgabe wird typischerweise durch die Einführung einer alternativen Dynamik für den zugrunde liegenden Vermögenspreis erreicht, während letztere oft mit Mitteln angegangen wird Von statischen Anpassungen oder Interpolationen In diesem Artikel beschäftigen wir uns mit dieser letzteren Frage und analysieren eine mögliche Lösung in einem Devisen-FX-Optionsmarkt In einem solchen Markt gibt es in der Tat nur drei aktive Anführungszeichen für jede Marktreife die Straddle, das Risiko Umkehrung und der vega-gewichtete Schmetterling, so präsentiert uns das Problem einer konsequenten Bestimmung Der anderen impliziten Volatilitäten FX Broker und Market Maker in der Regel dieses Problem mit einem empirischen Verfahren, auch Vanna-Volga VV genannt, um das ganze Lächeln für eine gegebene Reife zu konstruieren Volatilität Zitate werden dann in Bezug auf die Option s, für Reicht von den 5 an den 5 anruf Im Folgenden werden wir dieses Marktverfahren für eine gegebene Währung überprüfen. Insbesondere werden wir geschlossene Formeln ableiten, um ihre Konstruktion expliziter zu machen. Wir werden dann die Robustheit in einem statischen testen Sinn für das daraus resultierende Lächeln, in dem sich immer wieder die drei Anfangspaare von Streik und Volatilität schließlich die gleiche implizite Volatilitätskurve ergeben. Wir werden auch zeigen, dass das gleiche Verfahren, das auf Europeanstyle-Ansprüche angewendet wird, mit statischen Replikationsergebnissen übereinstimmt und als Beispiel betrachtet wird , Der praktische Fall einer quanto-europäischen Option Wir werden endlich beweisen, dass das Marktverfahren auch dynamisch gerechtfertigt werden kann, indem wir eine Absicherung definieren Strategie, die lokal repliziert und selbstfinanziert wird 2 Eine kurze Beschreibung des FX-Optionsmarktes Im FX-Optionsmarkt wird die Volatilitätsmatrix nach der klebrigen Delta-Regel gebaut. Die zugrunde liegende Annahme ist, dass die Optionen je nach Delta bewertet werden Wenn sich der zugrunde liegende Vermögenspreis verschiebt und sich das Delta einer Option entsprechend ändert, muss eine andere implizite Volatilität in die Preisformel 1.2 gesteckt werden. Der FX-Optionsmarkt ist sehr liquide, bis zu relativ lange verfallenden Verfallszeiten 2 Jahre, zumindest für den EUR USD-Wechselkurs Die at-the-money ATM-Volatilität ist leicht verfügbar, und die Risikoumkehr RR für 25 Call und Put und die vega-gewichtete Butterfly VWB mit 25 Flügeln werden auch üblicherweise gehandelt 1 Aus diesen Daten kann man leicht drei grundlegende implizite ableiten Volatilitäten, aus denen man dann das ganze Lächeln für den Bereich, der von einem 5 auf einen 5-Aufruf läuft, nach der Methode, die wir unten skizzieren werden, bauen. Wir bezeichnen mit dem Wert einer gegebenen Börse Rate zum Zeitpunkt t und übernehmen konstante in - und ausländische risikofreie Raten, die jeweils mit rd und rf bezeichnet werden. Wir betrachten dann eine Marktreife T und definieren die dazugehörigen Zitate im Folgenden Die im FX-Markt notierte Geldautomaten sind diejenige von Eine Straddle, deren Streik für jedes gegebene Verfall gewählt wird, so dass ein Put und ein Call das gleiche haben, aber mit verschiedenen Zeichen keine Hedge ist erforderlich, wenn der Handel dieser Straddle Angabe durch AT M die ATM-Volatilität für das Verfall T, der ATM-Streik K AT M muss dann ln S e rf TK AT M rdrf 2 AT MT e rf T ln SK AT M rdrf 2 AT MT AT MT AT MT, wo die kumulative Standard-Normalverteilungsfunktion bezeichnet wird. Gerade Algebra führt zu K AT MS e rd rf 2 AT MT 1 Die RR ist eine typische Struktur, bei der man einen Anruf kauft und einen Symmetrisch verkauft. Der RR wird als Differenz zwischen den beiden impliziten Volatilitäten 25 c und 25 p angegeben, um in die Black - und Scholes-Formel für die Rufen Sie an und das Put bzw. Denotin G einen solchen Preis, in volatilitätsbedeutung, von RR, wir haben 2 RR 25 c 25 p 2 Die VWB wird aufgebaut, indem sie eine Geldautomaten-Straddle verkauft und einen 25 erwürgenden gekauft hat. Um Vega-gewichtet zu sein, muss die Menge der ehemaligen sein Kleiner als die Menge der letzteren, da die Vega der Straddle größer ist als die Vega des Erklappens Der Preis des Schmetterlings in Volatilität, VWB, wird dann von VWB 25 c 25 p 2 AT M 3 definiert. Für das gegebene Verfall T Können die beiden impliziten Volatilitäten 25 c und 25 p sofort durch Lösen eines linearen Systems identifiziert werden. Wir erhalten 25 c AT MVWB RR 4 1 Wir fallen das Zeichen nach dem Niveau des, in Übereinstimmung mit dem Marktjargon dar. Daher ist ein 25 Anruf Ein Aufruf, dessen Delta 25 ist. Analog ist ein 25-stelliger, dessen Delta ein positiver RR ist, bedeutet, dass der Ruf begünstigt wird, da seine implizite Volatilität höher ist als die implizite Volatilität der Setzen einer negativen Zahl impliziert das Gegenteil 2.3 25 p AT MVWB 1 2 RR 5 Die beiden Streiks, die dem 25 Put und 25 Ruf entsprechen, können abgeleitet werden Er geradlinige Algebra, indem man sich an ihre jeweiligen Definitionen erinnert. Zum Beispiel müssen wir für ein 25 Stück dasjenige haben, was sofort zu e rf T ln S 5 prdrf 2 25 p T 25 25 p T 5 p S e 25 p T rdrf 2 25 p T 6 wobei 1 1 4 erf T und 1 die inverse Normalverteilungsfunktion Ähnlich bekommt man auch 5 c S e 25 c T rdrf 2 25 c T 7 Wir betonen, dass für typische Marktparameter und für Laufzeiten bis zu zwei Jahren, Und 3 5 p K AT M 5 c Im folgenden Abschnitt werden wir erklären, wie wir die grundlegenden impliziten Volatilitäten und die damit verbundenen Streiks nutzen können, um das gesamte Lächeln für das gegebene Verfall zu konsequent abzuschließen. Zu diesem Zweck werden wir mit dem Gleiche Art von Optionen, z. B. Anrufe, direkt unter Berücksichtigung ihrer Marktpreise anstelle von Volatilitäten Um die Notation zu erleichtern und zukünftige Formeln zu vereinfachen, werden wir die zitierten Streiks für die gegebene Laufzeit T durch K i, i 1, 2, 3, K 3, 4 bezeichnen Und setzen K Die damit verbundenen Marktoptionspreise, jeweils mit C MKT, C MKT und C MKT K 3 bezeichnet, sind ass Um die Standard-No-Arbitrage-Bedingungen zu erfüllen 3 Das VV-empirische Marktverfahren Betrachten wir eine europäische Call-Option mit Fälligkeit T und Streik K, deren Black - und Scholes-Preis zum Zeitpunkt t mit C BS t K, ln S t C BS bezeichnet wird T KS te rf K rd rf 1 2 2 ln S t Ke rd K rd rf 1 2 2 8 wobei T t und ein gegebener Volatilitätsparameter ist. Es ist bekannt, dass unter dem Black-Scholes 1973 BS-Modell die Rufauszahlung möglich ist Durch eine dynamische Abrechnungsstrategie repliziert werden, deren Anfangswert des Bankkontoteils dem Optionspreis entspricht 8 In den realen Finanzmärkten ist jedoch die Volatilität 3 Für lange Laufzeiten ist es Marktpraxis, den Terminkurs als ATM-Streik zu betrachten 4 und K 3 ersetzen jeweils 5 p, K AT M und 5 c 3,4 ist stochastisch und Händler sichern das damit verbundene Risiko durch den Aufbau von Vega-neutralen Portfolios Angesichts der Besonderheit des FX-Optionsmarktes können auch Portfolios konstruiert werden Partielle Ableitungen bis zur zweiten Ordnung, so dass b Y Ito s Lemma, wir haben eine perfekte Hecke in einem infinitesimalen Zeitintervall, siehe auch Abschnitt 9 unten Das empirische Verfahren basiert auf der Ableitung eines solchen Hedging-Portfolios für den oben genannten Aufruf mit Reife T und Streik K Genau genau wollen wir Zeit - T Gewichte x 1 t K, x 2 t K und x 3 t K, so dass das daraus resultierende Portfolio von europäischen Anrufen mit Fälligkeit T und Streiks und K 3 die Preisvariationen des Anrufs mit Laufzeit T und Streik K absichert, Bis zur zweiten Ordnung in der zugrunde liegenden und der Volatilität Angesichts der gehobenen Position und angesichts der Tatsache, dass in der BS-Welt Portfolios von Plain-Vanilla-Optionen mit der gleichen Reife, die Vega neutral sind, auch Gamma-neutral sind, sind die Gewichte x 1 t K , X 2 t K und x 3 t K können gefunden werden, indem man annimmt, dass das replizierende Portfolio die gleiche Vega, dvegadvol volga und dvegadspot vanna als den Aufruf mit Streik K hat, nämlich C BS t K 2 C BS t K 2 2 C BS S tt K BS C xit K t K ixit K 2 C BS 2 t K ixit K 2 C BS S tt K i 9 Bezeichnung durch V t K Die Zeit-t Vega einer europäischen Option mit Reife T und Streik K, V t KC BS t KS te rf d 1 t K d 1 t K ln S t K rd rf 2 xx 1 e 1 2 x2 2 1 und Berechnen der Ableitungen der zweiten Ordnung können wir die folgenden 2 C BS V t K t K d 2 1 t K d 2 t K 2 C BS V t K t KS t S td 2 t K d 2 t K d 1 t K 4,5 Proposition 3 1 Das System 9 gibt immer eine eindeutige Lösung an, die durch x 1 t K x 2 t K x 3 t KV t K ln KKV t ln V t KV t V t KV t K 3 ln KK ln ln K ln K 11 gegeben ist Insbesondere, wenn KK j dann x 1 K 1 für ij und null sonst ist Proof siehe Anhang 4 Der daraus resultierende Optionspreis Wir können nun mit der Definition eines Optionspreises fortfahren, der mit den Marktpreisen der Basisoptionen übereinstimmt. Ein lächelnkonsistentes Preis für den Aufruf mit Streik K wird durch Addition des BS-Preises durch die Kosten für die Umsetzung der oben genannten Absicherungsstrategie zu den vorherrschenden Marktpreisen erhalten. In Formeln, für t, CKC BS K xi KC MKT K i C BS K i 12 wo, um zu erleichtern Die Notation, die Abhängigkeit von der v Alu-Zeit t wird nachträglich weggelassen, wenn null 5 Der neue Optionspreis wird also durch Hinzufügen des flachen smiles BS-Preises definiert, wobei die Kostendifferenz des Hedging-Portfolios durch den Markt implizite Volatilitäten in Bezug auf die konstante Volatilität verdeutlicht Robustheit und Konsistenzergebnisse für die Option Preis 12 sind unten angegeben Wenn KK j wir deutlich haben, dass CK j C MKT K j, da xi K 1 für ij und null sonst also 12 definiert nur eine Regel für entweder Interpolation oder Extrapolation von Preisen aus den drei Option Zitate C MKT, C MKT und C MKT K 3 Eine marktlich implizite Volatilitätskurve kann dann durch Invertieren von 12, für jedes betrachtete K, durch die BS-Formel konstruiert werden. Ein Beispiel für eine solche Kurve ist in Abbildung 1 dargestellt, wo wir implizierte Volatilitäten sowohl gegen Streiks als auch Gegen Deltas Wir verwenden die folgenden EUR-USD-Daten per 1. Juli 25 T 3m 94 365y, S 1 25, AT M 9 5, RR 5, VWB 13, die zu 25 c 8 93, 5 c 9 5, 25 p führen 9 43, K ATM 5 p und 5 c Siehe auch Tab Les 1 und 2 5 Dieser Preis hängt von dem Volatilitätsparameter ab. In der Praxis ist die typische Wahl, AT M zu setzen. 5.6 Volatility Strike Put Delta Abbildung 1 EUR USD Implizite Volatilitäten sowohl gegen Streiks als auch gegen Deltas, wo die drei Marktgrundzitate hervorgehoben werden Der Optionspreis CK erfüllt in Abhängigkeit vom Streik K die folgenden Noarbitrage-Bedingungen i CC 2, ii lim KCKS e rf T und lim KCK iii lim dc KK dk e rdt und lim KK dc K dk Die zweite und dritte Eigenschaft, Die von C BS K trivial erfüllt sind, folgt aus der Tatsache, dass für jedes i sowohl xi K als auch dx i K dK für K oder n auf Null gehen. Um Arbitragechancen zu vermeiden, sollte auch der Optionspreis CK eine konvexe Funktion sein Der Streik K, dh 2 C d K für jedes K Diese Eigenschaft, die in d allgemein nicht wahr ist, gilt jedoch für typische Marktparameter, so dass 12 in der Tat zu Preisen führt, die in der Praxis arbitragefrei sind. 5 Eine Annäherung für Implikationen Volatilitäten Die obige Definition der Option Preis, kombiniert mit unserer analytischen Formel 11 für die Gewichte, ermöglicht die Ableitung einer direkten Approximation für die implizite Volatilität, die mit 11 verbunden ist. Dies ist in der folgenden Proposition 5 1 beschrieben. Die implizite Volatilität k für die obige Option mit dem Preis CK ist annähernd gegeben Durch k 1 K ln KK ln 25 p ln KK ln ATM ln K ln K 25 c 13 6 Man kann eigentlich Fälle finden, in denen die Ungleichung für einen Streik verletzt wird K 6.7 wahres Lächeln Näherung 11 wahres Lächeln Annäherung Strike Put Delta Abbildung 2 EUR USD Implizite Volatilitäten und ihre Näherungen, sowohl gegen Streiks als auch gegen Deltas Proof aufgezeigt Sehen Sie sich den Anhang Die implizite Volatilität k kann so durch eine lineare Kombination der grundlegenden Volatilitäten, mit Kombinatoren yi K, die Summe bis zu einer als mühsame, aber einfache Algebra zeigt es angenähert werden Ist auch leicht zu sehen, dass die Approximation eine quadratische Funktion von ln K ist, so dass man auf eine einfache parabolische Interpolation zurückgreifen kann, wenn Log-Koordinaten sind Verwendet Eine grafische Darstellung der Güte der Näherung 13 ist in Abbildung 2 dargestellt, wo wir die gleichen EUR-USD-Daten wie in Abbildung 1 verwenden. Die Näherung 13 ist im Intervall äußerst genau, K 3 Die Flügel sind jedoch eher überbewertet In der Tat, da die funktionale Form quadratisch im Logstrike ist, werden die von Lee 24 abgeleiteten No-Arbitrage-Bedingungen für den asymptotischen Wert der impliziten Volatilitäten hier verletzt. Dieser Nachteil wird durch eine zweite, präzisere Approximation adressiert, die im Extrem asymptotisch konstant ist Streiks Proposition 5 2 Die implizite Flüchtigkeit k kann besser wie folgt angenähert werden, wobei k 2 K 2 d 1 K d 2 K 2 D 1 KD 2 K d 1 K d 2 KD 1 K ln KK ln 25 p ln KK ln ATM ln K Ln K 25 c 1 KD 2 K ln KK ln d 1 d 2 25 p 2 ln K ln K ln K d 1 K 3 d 2 K 3 25 c 2 7, 14 K d ln 1 d 2 ATM 2,8 115 wahre Lächelnnäherung 115 wahres Lächeln Annäherung Strike Put Deltas Abbildung 3 EUR USD implizite Volatilitäten und ihre Näherungen, sowohl gegen Stri Kes und gegen Deltas und d 1 x ln S xrdrf 2 T, d 2 xd 1 x T, x T Proof Siehe den Anhang Wie wir aus Abbildung 3 sehen können, ist die Näherung 14 auch in den Flügeln extrem genau. Sein einziger Nachteil ist das Es kann nicht durch das Vorhandensein eines Quadratwurzelbegriffs definiert werden. Der Radikal ist jedoch in den meisten praktischen Anwendungen positiv 6 Ein erstes Konsistenzergebnis für den Preis CK Wir geben nun zwei wichtige Konsistenzergebnisse für den Optionspreis 11 und Die das oben genannte empirische Verfahren weiter unterstützen Das erste Ergebnis ist wie folgt: Man darf sich fragen, was passiert, wenn wir unsere Kurvenbaumethode anwenden, wenn wir von drei anderen Streiks anfangen, deren zugehörige Preise mit denen aus der Formel 12 übereinstimmen Robust, wir wollen, dass die beiden Kurven genau übereinstimmen. In der Tat betrachten wir einen neuen Satz von Streiks H und bezeichnen die vorherigen Gewichte xi K durch xi KK, um die Abhängigkeit von der Menge der anfänglichen Streiks zu betonen. Analog, xi KH wi Ll bezeichnen die Gewichte für den Streik K, die aus dem neuen Satz von Streiks abgeleitet werden. Der Optionspreis für jedes H i ist nach Annahme gleich dem von 12 kommenden, dh CHH i CKH i C BS H ixj H i KCK j C BS K j 15 j 1 8.9 Wo die Hochschriften H und K den Satz von Streiks markieren, basiert das Kalkulationsverfahren auf Für einen generischen Streik K ist der mit H verbundene Optionspreis analog zu 12 von CHKC BS K xj KHCHH definiert J C BS H jj 1 Satz 6 1 Die Aufrufpreise, die auf H basieren, stimmen mit denen überein, die auf K basieren, nämlich für jeden Streik K, CHKCKK 16 Proof Siehe Anhang 7 Ein zweites Konsistenzergebnis für den Preis CKA zweites Konsistenzergebnis, das sein kann Bewährt für den Optionspreis 11 betrifft die Preisgestaltung von europäisch-artigen Derivaten und deren statische Replikation Zu diesem Zweck geht man davon aus, dass h eine echte Funktion ist, die definiert ist, sich im Unendlichen gut verhält und im Sinne von Verteilungen zweimal differenzierbar ist Der einfache Anspruch mit Auszahlung hs T bei ti Ich T, wir bezeichnen mit v ihren Preis zur Zeit, unter Berücksichtigung des Lächelnseffekts Von Carr und Madan 1998 haben wir V e rdt h S e rf T hhxcx dx Dasselbe gilt für die Erstellung der impliziten Volatilitätskurve Kann auf die allgemeine Auszahlung angewendet werden hs T Wir können so ein Portfolio von europäischen Anrufen mit Fälligkeit T und Streiks und K 3 konstruieren, so dass das Portfolio die gleiche Vega, Dvegadvol und Dvegadspot als das gegebene Derivat hat Preis unter dem Modell Black und Scholes 1973, wird dies erreicht, indem man Gewichte xh 1, xh 2 und xh 3 findet, so dass V BS 2 V BS 2 2 V BS S xhixhixhi C BS K i 2 C BS 2 K i 2 C BS SK Ich, die immer eindeutig existieren, wie bereits in Proposition 3 1 bewiesen ist, können wir dann einen neuen, für unskwürdigen Preis für unser Derivat definierten Preis definieren. VV BS xhi CK i C BS K i 17 9.10 Proposition 7 1 Der Preis, der mit den Optionspreisen übereinstimmt C ist gleich dem Forderungspreis, der durch die Anpassung seiner Schwarz und Schol erhalten wird Es Preis durch die Kostendifferenz des Hedging-Portfolios bei der Verwendung von Marktpreisen CK i anstelle der konstanten Volatilitätspreise C BS K i In Formeln VV Proof Siehe Anhang Dieser Satz stellt ein klares Konsistenzergebnis für einfachste Ansprüche im europäischen Stil fest Berechnen wir das Hedging-Portfolio für die Forderung unter flacher Volatilität und fügen dem mit dem Black - und Scholes-Modell berechneten Forderungspreis die Kostendifferenz des Hedging-Portfoliomarktpreises abzüglich des konstanten Volatilitätspreises hinzu, wir rufen den Forderungspreis, Neutrale Dichte impliziert durch die Call-Option Preise, die im Einklang mit dem Markt Lächeln Dieses nützliche Ergebnis wird im folgenden Abschnitt auf den konkreten Fall einer Quanto-Option angewendet werden 8 Ein Beispiel Lächeln konsistente Preisgestaltung einer Quanto-Option Eine Quanto-Option ist ein Derivat zahlen Bei Fälligkeit T der Betrag s TX in Fremdwährung, was äquivalent zu s TXST in inländischer Währung ist, wobei 1 für einen Anruf und 1 für Ein Satz Standard-Argumente auf statische Replikation implizieren, dass Quanto-Aufruf und Put-Preise können in Form von Plain-Vanille-Aufruf geschrieben werden und setzen Preise wie folgt QCall T, X 2 X QPut T, X XP X 2 CK dk XC XXPK dk 18 wo PX Ist der Put-Preis mit Streik X und Fälligkeit T, dh PXCXS e rf TX e rdt Wir überprüfen nun mit realen Marktdaten, dass die Quanto-Optionspreise 18 den Preisen entsprechen, die aus Hedging-Argumenten kommen. Dazu nutzen wir die Marktdaten als Vom 1. Juli 25, wie in den Tabellen 1 und 2 berichtet, sind unsere Berechnungen in Tabelle 3 dargestellt, wobei die mit Hedging-Argumenten, dh mit der Formel 17, berechneten Quanto-Optionspreise mit den statischen Replikationspreisen 18 verglichen werden, die unter Verwendung von 5 erhalten werden Und 3 Stufen bzw. ein ständiger Schritt von 15 und 25 7 Die prozentualen Unterschiede zwischen diesen Preisen sind ebenfalls dargestellt 7 Die Integrale in 18 können natürlich mit effizienteren Prozeduren berechnet werden. Hier wollen wir aber nur numerisch zeigen Korrektheit unserer Pri Cing-Verfahren 1.11 Verfall USD Diskontfaktor EUR Rabattfaktor 3m 3 1 y 3 7 Tabelle 1 Marktdaten zum 1. Juli 25 Delta 3M 1Y 25 Put ATM 25 Call Table 2 Streiks und Volatilitäten, die den drei Haupt-Delta s entsprechen, ab Juli 1, 25 Der Zweck dieses Beispiels ist auch zu zeigen, dass Quanto-Optionspreise, konsequent mit dem Marktlächeln, durch die Verwendung von nur drei europäischen Optionen und nicht ein Kontinuum von Streiks abgeleitet werden können, wie impliziert 18 9 Robustheit des Preisverfahrens Wir Schlussfolgerung des Artikels durch die Motivation des empirischen Preisverfahrens auch in dynamischer Hinsicht Der scheinbar willkürliche Ansatz der Nullstellung von Teilderivaten von BS-Preisen bis zum zweiten Auftrag kann durch die Tatsache gerechtfertigt werden, dass das BS-Modell bei der Bewertung eines Optionsbuches noch ein Maßstab ist Es gibt mehrere Gründe für diese Tatsache, abgesehen von der offensichtlichen historischen eine Ich erleichtert die Umsetzung II klar und intuitive Bedeutung der Modellparameter iii leicht verfügbare Empfindlichkeiten und iv Möglichkeit der Explizite Formeln für die meisten Auszahlungen Kein anderes Modell besitzt alle diese Features zur gleichen Zeit 8 Eigentlich ist es nicht so eine seltsame Praxis, ein FX-Optionsbuch durch Neubewertung und Absicherung nach einem Flat-Smile-BS-Modell, obwohl die ATM-Volatilität laufen Wird laufend auf dem Handelsmarkt gezeichnet 9 Wir beweisen nun, dass, wenn europäische Optionen alle mit der gleichen stochastischen impliziten Volatilität bewertet werden, sagen wir die ATM-Volatilität, die Wertänderungen des Hedging-Portfolios lokal verfolgen die des gegebenen Aufrufs Zu diesem Zweck, Wir betrachten eine generische zeit t und übernehmen eine itoähnliche dynamik für die flüchtigkeit t Wir haben also durch Ito s lemma, dc BS t KC BS t K dt C BS t K ds t C BS t K dtt SC BS t K ds 2 S 2 t 19 C BS t K d 2 2 t C BS t K ds tdt S 8 Eine mögliche Ausnahme ist das unsichere Parametermodell von Brigo, Mercurio und Rapisarda 24 9 Kontinuierlich bedeutet typischerweise ein tägliches oder etwas häufigeres Update 11.12 Strike Expiry 3M 1Y 3M 1Y 3M 1Y Hedging-Argumente Anrufen Put Static Replikat Ionen 5 Stufen Aufruf Pct Diff Put Pct Diff Statische Replikation 3 Schritte Aufruf Pct Diff Put Pct Diff Tabelle 3 Vergleich der Quanto Option Preise erhalten durch die Formeln 17 und 18 Angenommen, auch eine gehärtete Position und dass die Streiks K i sind die an der ersten abgeleitet Zeit erhalten wir sofort dc BS t KC BS t K xit K dc BS t K it C BS t K 1 2 C BS t K 2 S 2 C BS t K 2 2 2 C BS t KS xit KC BS t K i dt Txit KC BS t K idtxit K 2 C BS t K i S 2 xit K 2 C BS t K i 2 xit K 2 C BS t K i S ds t 2 dt 2 ds tdt Der zweite, vierte und fünfte Term im RHS Von 2 sind null durch Definition der Gewichte xi, während die dritte ist null aufgrund der Beziehung Verknüpfung Optionen Gamma und Vega in der BS-Welt Aus dem gleichen Grund, und daran erinnern, dass jede Option ist - hedged, haben wir auch 2 12.13 so haben Dass C BS t K t dc BS t K xit KC BS t K itrd C BS t K xit K dc BS t K ir C d BS t K xit KC BS t K i 21 xit KC BS t K i dt 22 Der Ausdruck in Die RHS dieser Gleichung ist zur Zeit bekannt T Das Portfolio, das aus einer langen Position im Aufruf mit Streik K und drei Short-Positionen in xit K-Anrufen mit Streik K i gemacht wurde, ist zum Zeitpunkt t lokal risikofrei, da keine stochastischen Begriffe in seinem Differential beteiligt sind. Wie bekannt ist, Im BS-Paradigma ist das Gespräch mit Streik K und kurzem C BS S-Aktien des zugrunde liegenden Vermögenswertes gleichbedeutend mit einem lokal risikolosen Portfolio. Wenn die Volatilität stochastisch ist und die Optionen mit der BS-Formel noch bewertet werden, können wir noch lokal sein Perfekte Hedge, vorausgesetzt, dass wir passende Mengen von drei verschiedenen Optionen halten Man kann sich fragen, warum wir drei Möglichkeiten brauchen, um die Ungewissheit aufgrund einer stochastischen Volatilität auszuschließen, und nicht nur eine, wie es typischerweise passiert, wenn eine weitere eindimensionale Quelle der Zufälligkeit eingeführt wird Grund ist zweifach Zuerst verwenden wir kein konsequentes Modell, sondern nur ein Bewertungsverfahren. In der Tat kann kein zweidimensionales diffusionsstochastisches Volatilitätsmodell flaches Lächeln für alle Laufzeiten produzieren Zweitens nehmen wir keine spezifische Dynamik für den Basiswert und die Volatilität an, sondern nur eine generelle Diffusion. Die drei Optionen sind in der Tat auch erforderlich, um das Modellrisiko auszuschließen, da unsere Absicherungsstrategie unabhängig vom wahren Vermögen und der Volatilität abgeleitet wird Dynamik unter der Annahme von keinem Sprung 1 Schlussfolgerungen Wir haben ein marktrelevantes Verfahren beschrieben, um implizite Volatilitätskurven im FX-Markt zu konstruieren. Wir haben gesehen, dass die Lernkonstruktion zu einer Preisformel für jeden europäischen Kontingentanspruch führt. Wir haben dann Konsistenzergebnisse bewiesen Basierend auf statischer Replikation und auf Hedging-Argumenten Das Smile-Bauverfahren und die damit verbundene Preisformel sind eher allgemein. Obwohl sie für FX-Optionen entwickelt wurden, können sie in jedem Markt angewendet werden, in dem drei Volatilitätszitate für eine bestimmte Laufzeit verfügbar sind Eine letzte, ungelöste Frage betrifft die Bewertung von exotischen Optionen durch eine Verallgemeinerung des empirischen Verfahrens w Ich habe in diesem Artikel veranschaulicht. Dies ist im Allgemeinen ein ganz komplexes Thema, um sich zu behandeln, auch wenn man bedenkt, dass die gegenwärtigen impliziten Volatilitäten nur Informationen über die Randdichten enthalten, was natürlich nicht ausreicht, um wegabhängige Derivate zu bewerten. Für exotische Ansprüche, Ad-hoc-Verfahren werden in der Regel eingesetzt 13.14 Zum Beispiel können Barrier-Optionspreise durch Abwägung der Kostendifferenz der Replikationsstrategie durch die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit erhalten werden, die Barriere vor der Fälligkeit nicht zu überschreiten. Allerdings sind diese Anpassungen nicht nur schwerer als theoretisch zu rechtfertigen Die in der einfachen Vanille-Koffer, aber aus praktischer Sicht können sie sogar entgegengesetzte Vorzeichen in Bezug auf das, was in Marktpreisen angedeutet ist. Anhang A die Beweise Proof of Proposition 3 1 Schreiben des Systems 9 in der Form x 1 t KA X 2 t KB, x 3 t K geradlinige Algebra führt zu einem V t V t V t K 3 S 2 d2 t K 3 d 1 td 2 td 2 td 1 t K 3 d 2 t K 3 T d 1 td 2 Td 2 t K 3 d 1 t K 3 d 2 T K 3 d 2 td 2 td 1 td 2 td 1 td 2 td 2 t V t V t V t K 3 S 5 T 2 ln 23, das seit K 3 streng positiv ist. Daher gibt 9 eine eindeutige Lösung und 11 folgt aus Cramer s Regel Proof of Proposition 5 1 Auf der ersten Ordnung in, hat man CKC BS K xi KVK iki, die, erinnert an 11 und die Tatsache, dass 3 xikvki VK, führt zu CKC BS KVK yi KK i, wo y 1 K ln KK ln Y 2 K ln KK ln y 3 K ln K ln K 14.15 Dann folgt 13 aus der Taylor-Erweiterung erster Ordnung CKC BS KVKK Proof of Proposition 5 2 Bei zweiter Ordnung ist CKC BS K analog, damit wir xi schreiben können KVK iki C BS 2 2 K iki 2 CKC BS KVKKC BS KK 2 2 VKK xi KVK iki C BS KK 2 2, 2 C BS 2 K iki 2 Die Lösung dieser algebraischen Zweite Ordnung in k führt dann zu 14 Proof of Proposition 6 1 Die Gleichheit 16 gilt genau dann, wenn xj KHCHH j C BS H jj 1 xi KKCK i C BS K i Mit 15 und Umordnungstermen kann die linke Seite als xj KHCHH j C BS H jj 1 xj K geschrieben werden H xi H j KCK i C BS K ij 1 xj KH xi H j KCK i C BS K ij 1, die der rechten Seite der obigen Gleichheit entspricht, da für jeden Schlag K und j 1, 2, 3, xi KK xj KH xi H j K 24 j 1 aus einer mühsamen, aber geradlinigen Anwendung der Formel 11 für die Gewichte 15.16 Proof of Proposition 7 1 Für jeden Operator L haben wir LV BS L e rdt h S e rf T hh KC BS K Dk h K LC BS K dk, die durch Definition der Gewichte xi K zu LV BS h K xi K LC BS K i dk h K xi K LC BS K i dk h K xi K dk LC BS K i Durch die Eindeutigkeit Der Gewichte xhi wir haben also xhi Setzen wir in 17 ein, wir erhalten VV BS V BS V BS h K h K xi K dk, i 1, 2, 3 h K xi K dk CK i C BS K ixi KCK i C BS K I dk V BS VV BS V h KCKC BS K dk 11 Anhang B die implizierte risikoneutrale Dichte Der VV-Preis 12 wird ohne spezifische Annahmen über die Verteilung des zugrunde liegenden Vermögenswertes definiert. Allerdings ist die Kenntnis der Optionspreise für jeden möglichen Streik implizit Bestimmt ein Eindeutige risikoneutrale Dichte, die mit ihnen in Einklang steht In der Tat 16.17 8 7 Vanna Volga BS Abbildung 4 Vanna-Wolga Risikoneutrale Dichte im Vergleich zu dem lognormalen aus dem BS-Modell mit ATM-Volatilität durch das allgemeine Ergebnis von Breeden und Litzenberger 1978 Kann die risikoneutrale Dichte p T des Wechselkurses ST durch Differenzierung des doppelten Optionspreises 12 p TK e rd T 2 CK erd T 2 C BS K erd T i 2 xi KC MKT K i C BS K i 25 erhalten werden Der erste Term in der RHS ist die logarithmische Dichte p BS T, die mit der geometrischen Brownschen Bewegung mit Driftrate rdrf und der Flüchtigkeit assoziiert ist. Der zweite Term, der die Abweichung von der durch das VV-Lächeln induzierten Lognormalität ist, ist stärker involviert und kann durch Differenzierung berechnet werden Zweimal die Gewichte 11 Wir erhalten 2 x 1 KK 2 2 x 3 KK 2 VK 2 TV ln 2 T d 1 K ln K 3 VK 2 TVK 3 2 T d 1 K ln d1 K 2 T d 1 K 1 ln 2 T ln K 2K K 2 d1 K 2 T d 1 K 1 ln 2 T ln K 1K KKK ln KA-Darstellung der risikoneutralen Dichte, die mit 12 assoziiert ist, ist in Abbildung dargestellt 4, wo es mit der entsprechenden lognormalen Dichte verglichen wird p BS T 17.18 Referenzen 1 Black, F und Scholes, M 1973 Die Preisgestaltung von Optionen und Corporate Liabilities Journal of Political Economy 81, 2 Breeden, DT und Litzenberger, RH 1978 Preise des Staates - Kontingent Claims Implizite in Optionspreisen Journal of Business 51, 3 Brigo, D Mercurio, F und Rapisarda, F 24 Smile an der Unsicherheit Risiko 17 5, 4 Carr, PP und Madan, DB 1998 Auf dem Weg zu einer Theorie der Volatilität Trading In VOLATILITY eds RA Jarrow Risk Bücher 5 Lee, RW 24 Die Momentformel für die implizite Volatilität bei extremen Streiks Mathematische Finanzen 14 3.Konsistente Preisgestaltung von FX-Optionen In den aktuellen Märkten werden Optionen mit unterschiedlichen Streiks oder Fälligkeiten in der Regel mit verschiedenen impliziten Volatilitäten bewertet. Diese stilisierte Tatsache , Die gemeinhin als Kandidateneffekt bezeichnet wird, können unter Berücksichtigung spezifischer Modelle entweder für die Preisbildung exotischer Derivate oder für die Ableitung von impliziten Volatilitäten für nicht zitierte Streiks oder Fälligkeiten Die bisherige Aufgabe wird in der Regel durch die Einführung einer alternativen Dynamik für den zugrunde liegenden Vermögenspreis erreicht, während diese häufig durch statische Anpassungen oder Interpolationen angegangen wird. In diesem Artikel beschäftigen wir uns mit dieser letzteren Frage und analysieren eine mögliche Lösung in einer Devisenbranche FX-Optionsmarkt In einem solchen Markt gibt es in der Tat nur drei aktive Anführungszeichen für jede Marktreife der 0Delta-Straddle, die Risikoumkehr und den vega-gewichteten Butterfly und stellt damit das Problem einer konsequenten Ermittlung der anderen impliziten Volatilitäten dar. FX Broker und Market Maker in der Regel dieses Problem mit einem empirischen Verfahren, um das ganze Lächeln für eine gegebene Reife zu konstruieren Volatilität Anführungszeichen werden dann in Bezug auf die Option s Delta, für Bereiche von der 5Delta setzen, um die 5Delta-Aufruf Nachfolgend werden wir dieses Marktverfahren für eine gegebene Währung überprüfen. Insbesondere werden wir Formulare mit geschlossenen Formularen ableiten, um ihren Aufbau zu machen Expliziter Wir werden dann die Robustheit in einem statischen Sinn des daraus resultierenden Lächelns testen, indem wir die drei Anfangspaare des Streiks und der Volatilität immer wieder die gleiche implizite Volatilitätskurve erzeugen. Wir werden auch zeigen, dass das gleiche Verfahren, das auf Europeanstyle-Ansprüche angewendet wird, konsistent ist Mit statischen Replikationsergebnissen und betrachten wir als Beispiel den praktischen Fall einer quanto-europäischen Option Wir werden schließlich beweisen, dass das Marktverfahren auch dynamisch gerechtfertigt werden kann, indem wir eine Hedging-Strategie definieren, die lokal repliziert und selbstfinanziert wird. Schlüsselwörter FX-Option, Lächeln, konsistente Preisgestaltung, stochastische Volatilität. JEL Klassifizierung G13.Suggested Citation Vorgeschlagene Citation. Castagna, Antonio und Mercurio, Fabio, konsequente Preisgestaltung von FX-Optionen verfügbar bei SSRN or. Iason Ltd email. Consistent Pricing von FX Optionen. In Die aktuellen Märkte, Optionen mit unterschiedlichen Streiks oder Fälligkeiten sind in der Regel mit verschiedenen impliziten Volatilitäten Preis Diese stilisierte Tatsache , Die gemeinhin als ismileffekt bezeichnet wird, kann durch Rückgriff auf spezifische Modelle entweder für die Preisbildung exotischer Derivate oder für die Ableitung von impliziten Volatilitäten für nicht zitierte Streiks oder Fälligkeiten berücksichtigt werden. Die frühere Aufgabe wird typischerweise durch die Einführung einer alternativen Dynamik für den zugrunde liegenden Vermögenspreis erreicht, In der Erwägung, dass diese häufig durch statische Anpassungen oder Interpolationen angegangen wird. In diesem Artikel beschäftigen wir uns mit dieser letzteren Frage und analysieren eine mögliche Lösung in einem Devisen-FX-Optionsmarkt In einem solchen Markt gibt es in der Tat nur drei aktive Anführungszeichen Für jede Marktreife die 0Delta-Straddle, die Risikoumkehr und die vega-gewichtete Schmetterling und damit uns das Problem einer konsequenten Bestimmung der anderen impliziten Volatilitäten. FX Broker und Market Maker in der Regel dieses Problem mit einem empirischen Verfahren zu konstruieren Das ganze Lächeln für eine gegebene Reife Volatilitätszitate werden dann in Bezug auf die Option s Delta, für r bereitgestellt anges from the 5Delta put to the 5Delta call. In the following, we will review this market procedure for a given currency In particular, we will derive closed-form formulas so as to render its construction more explicit We will then test the robustness in a static sense of the resulting smile, in that changing consistently the three initial pairs of strike and volatility produces eventually the same implied volatility curve We will also show that the same procedure applied to Europeanstyle claims is consistent with static-replication results and consider, as an example, the practical case of a quanto European option We will finally prove that the market procedure can also be justified in dynamical terms, by defining a hedging strategy that is locally replicating and self-financing. Keywords FX option, smile, consisten pricing, stochastic volatility. JEL Classification G13.Suggested Citation Suggested Citation. Castagna, Antonio and Mercurio, Fabio, Consistent Pricing of FX Options Availabl e at SSRN or. Iason Ltd email.
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